Е. И. Деза

кандидат физико-математических наук, профессор Московского педагогического государственного университета

Тел.: (499) 264-25-56; 8-917-500-74-81; e-mail: Elena.Deza@gmail.com

А. В. Жмулева

кандидат педагогических наук, профессор Московского педагогического государственного университета

Тел.: (499) 264-38-09; (495) 372-71-76; 8-910-493-58-31; mail: alevtin-z@yandex.ru

В статье анализируются проблемы изучения теории чисел; представлен разработанный авторами в соответствии с ФГОС ВПО комплект материалов для всех уровней числовой подготовки студентов математических факультетов педвузов, который помогает решить ряд имеющихся в этой области проблем; рассмотрены этапы вузовской предметной подготовки. Авторы статьи считают, что преподавание теоретико-числовых дисциплин на базе разработанных программ и созданных на их основе учебных пособий обеспечивает эффективную индивидуализированную фундаментальную подготовку студентов в рамках числовой содержательной линии, непрерывное формирование их профессиональной компетентности.

Ключевые слова: числовая подготовка учителя математики, уровневое образование, этапы вузовской предметной подготовки, теоретико-числовые дисциплины, числовая содержательная линия.

Понятие числа является одним из основополагающих понятий математики. Без знания классических числовых систем не может обойтись ни один образованный человек. В то же время процесс знакомства с построением числовых систем отражает в сжатом и очищенном виде все основные процессы, исторически происходившие в математической науке (аксиоматический метод, алгебраические структуры и т. д.).

Проблемы изучения теории чисел не являются новыми для современной дидактики (А. А. Бухштаб, А. В. Жмулева, Д. А. Митькин, Е. В. Неискашова, В. И. Нечаев, Л. Л. Степанова, Г. Г. Хамов, А. Я. Хинчин и др.), однако богатейший опыт, накопленный многими поколениями ученых-педагогов, не достаточно используется в практике работы современной высшей школы. Разработанный нами в соответствии с ФГОС ВПО комплект материалов для всех уровней числовой подготовки студентов математических факультетов педвузов помогает решить ряд имеющихся в этой области проблем.

Вузовская предметная подготовка учителя математики в современных условиях может быть условно разбита на несколько этапов.

Прежде всего, это предварительная подготовка, осуществляемая в рамках дисциплин "Вводный курс математики" или "Элементарная математика". Выражением числовой линии на данном этапе может служить курс арифметики [1], разработанный на основе многолетнего опыта работы преподавателей кафедры теории чисел МПГУ.

Основная подготовка осуществляется в рамках базовых дисциплин прежде всего в рамках курсов "Теория чисел" и "Числовые системы". На кафедре теории чисел МПГУ разработаны рабочие программы этих и других дисциплин по направлению подготовки "Педагогическое образование" (профили: "Математика", "Информатика").

Так, основные положения программы по теории чисел состоят в следующем.

1. Цели освоения дисциплины "Теория чисел": сформировать систему знаний, умений и навыков будущего учителя математики в предметной области "Элементарная теория чисел".

2. Дисциплина "Теория чисел" входит в вариативную часть профессионального цикла. Для освоения теории чисел студенты используют знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и сформированные в ходе изучения дисциплин "Элементарная математика" (арифметика), "Алгебра" (алгебраические структуры, алгебра многочленов), "Дискретная математика" (рекуррентные соотношения, методы суммирования). Знания, приобретенные студентом при изучении теории чисел, являются необходимой основой для последующего изучения курсов "Числовые системы" и "Элементы криптографии и защита информации", для овладения курсами по выбору кафедры теории чисел, для написания курсовых и выпускных квалификационных работ.

3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть помимо общекультурных компетенций ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-6, ОК-8, ОК-9, ОК-15 и профессиональных компетенций ОПК-1, ОГТК-5, ПК-1, ПК-2 (см. соответствующий ФГОС ВПО) следующими специальными компетенциями:

- владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом (СК-1);

- владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой; способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами; реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем; пользоваться языком математики; корректно выражать и аргументированно обосновывать имеющиеся знания (СК-2);

- способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики (СК-3);

- владеет математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов; способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (СК-4);

- владеет содержанием и методами элементарной математики; умеет анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики (СК-5);

- способен ориентироваться в информационном потоке, использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации и хранения информации, актуализировать ее в необходимых ситуациях интеллектуально-познавательной деятельности (СК-6);

- владеет основными положениями истории развития математики, эволюции математических идей и концепциями современной математической науки (СК-7),

В результате изучения дисциплины студент должен:

- знать основные периоды истории развития арифметики и теории чисел, основополагающие факты элементарной теории чисел, основные понятия и методы теории чисел, историю возникновения классических проблем теории чисел и их современное состояние, современные приложения теории чисел;

- уметь решать основные типы теоретико-числовых задач, задачи элементарной математики, используя аппарат теории чисел; применять полученные знания при решении практических задач профессиональной деятельности;

- владеть основными теоретико-числовыми методами, навыком исследования и решения классических задач элементарной теории чисел, классическими арифметическими алгоритмами, различными способами решения арифметических задач школьного курса математики, базовыми приемами современных теоретико-числовых приложений.

4. Содержание дисциплины формируется из следующих разделов [2].

Углубленная предметная подготовка подразумевает изучение тех или иных вопросов выбранного раздела математики в рамках дисциплин по выбору. Примером "числового" спецкурса может служить курс "Асимптотический закон распределения простых чисел" [3]. Знание основ теории простых чисел является необходимой составной частью профессиональной подготовки студента-математика, а углубленное изучение соответствующих вопросов позволяет начать исследования в области аналитической теории чисел.

В результате изучения курса студент должен:

- знать основные положения соответствующей теории, их связи с другими теоретико-числовыми курсами и школьным курсом математики;

- уметь применять теоретические знания, простейшие методы аналитической теории чисел при решении конкретных исследовательских задач; использовать рациональные способы получения, преобразования и систематизации информации, ее актуализации в необходимых ситуациях интеллектуально-познавательной деятельности; структурировать и ситуативно-адекватно актуализировать знания; осуществлять планирование и организацию собственной деятельности в области решения учебных и научных проблем;

- владеть логической и алгоритмической культурой, навыками учебно-исследовательской деятельности, способностью использовать возможности математики для повышения своего общекультурного уровня.

Программа спецкурса состоит из следующих разделов.

1. Основные понятия. Элементарные теоремы. Определение простого числа. Бесконечность множества простых. Доказательство Евклида. Доказательство Эйлера. Нерегулярность в распределении простых чисел. Простые-близнецы. Промежутки, не содержащие простых. Теорема о простых значениях полинома с целыми коэффициентами. Элементарные теоремы о простых числах в арифметических прогрессиях. Специальные простые числа. Оценки сверху n-го простого числа. Расходимость ряда, обратного простым. Теорема Чебышева. Преобразование Абеля. Асимптотические формулы. Постулат Бертрана. Теорема Финслера.

2. Теоретико-числовые функции. Функция Мебиуса, формулы обращения. Функция Мангольдта. Функция Чебышева, связь с функцией Мангольдта.

3. Асимптотический закон распределения простых чисел - элементарное доказательство. Конечные суммы. Теорема об эквивалентности существования трех пределов. Формула Сельберга. Леммы о верхнем и нижнем пределах функции Чебышева. Совпадение верхнего и нижнего пределов.

4. Асимптотический закон распределения простых чисел - аналитическое доказательство. Дзета-функция Римана. Тождество Эйлера. Логарифмическая производная. Аналитическое продолжение. Тривиальные и нетривиальные нули. Гипотеза Римана. Теорема Вале-Пуссена. Формула суммирования Пуассона. Выражение функции Чебышева через логарифмическую производную. Асимптотическая формула для функции Чебышева. Завершение доказательства, сравнение результатов, полученных элементарными и аналитическими методами.

5. Простые числа в арифметических прогрессиях. Характеры Дирихле. Свойства характеров. Примеры характеров. L-функции Дирихле. Выражение L-функции через произведение по простым числам. Связь с дзета-функцией Римана. L-функции и функция Мангольдта. Аналитическое продолжение. Необращение в ноль L(1 + it, x). Теорема Дирихле о бесконечности простых в арифметической прогрессии.

Заключительным этапом вузовской предметной подготовки является предметно-методическая подготовка - изучение математических дисциплин с "профессиональной" точки зрения, то есть с акцентом на демонстрацию связей со школьным курсом математики. Особое значение приобретают здесь математические спецкурсы в магистратуре, ориентированные на элементарную математику, но рассматривающие ее с точки зрения математики высшей. Примером такого спецкурса может служить курс для магистрантов "Специальные числа натурального ряда" [4].

В результате изучения курса студент должен:

- знать основные классы специальных чисел натурального ряда и их простейшие свойства; место теории специальных чисел в системе теоретико-числовых знаний, ее взаимосвязи и взаимозависимости со школьным курсом математики;

- уметь применять теоретические знания при решении математических задач и в педагогической деятельности, проектировать и реализовывать в практике обучения новое учебное содержание; организовывать исследовательскую деятельность учащихся по профильному предмету;

- владеть системной культурой мышления, логической и алгоритмической культурой, готовностью к непрерывному развитию творческих способностей, креативности, способностью к рефлексии.

Содержание курса формируется из следующих разделов.

1. Натуральные числа. Отношение делимости. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Простые числа в арифметических прогрессиях.

2. Числа Ферма. История вопроса. Арифметические свойства. Числа Ферма и бесконечность простых чисел. Факторизация чисел Ферма. Числа Ферма и задача Гаусса деления круга.

3. Числа Мерсенна. История вопроса. Арифметические свойства. Числа Мерсенна и бесконечность простых чисел. Факторизация чисел Мерсенна.

4. Совершенные и дружественные числа. История вопроса. Числа Мерсенна и совершенные числа: теорема Евклида-Эйлера. Теоремы о нечетных совершенных числах. Избыточные и недостаточные числа. Примеры дружественных чисел.

5. Фигурные числа. История вопроса. Формула для m-го n-угольного числа. Свойства многоугольных чисел. Теорема Лагранжа о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов. Теорема Ферма о представлении натурального числа в виде суммы n n-угольных чисел.

6. Числа Фибоначчи. История вопроса. Арифметические и теоретико-числовые свойства. Числа Фибоначчи и бесконечность простых чисел. Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля. Фибоначчиева система счисления.

7. Числа Каталана. Разные определения. Задачи, приводящие к числам Каталана. Числа Каталана и треугольник Паскаля. Формулы для вычисления чисел Каталана.

Практика показывает, что преподавание теоретико-числовых дисциплин на базе разработанных программ и созданных на их основе учебных пособий обеспечивает эффективную индивидуализированную фундаментальную подготовку студентов в рамках числовой содержательной линии, непрерывное формирование их профессиональной компетентности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Степанова Л. Л., Жмулева А. В., Деза Е. И. Арифметика: Практикум по решению задач. - М.: Изд-во МЦНМО, 2008.

2. Деза Е. И., Котова Л. В. Сборник задач по теории чисел. - М.: URSS, 2011.

3. Deza E. Zeta Functions and L-functions in Number Theory (Lecture Notes). - Pochang: Korea, 2007.

4. Деза Е. И. Специальные числа натурального ряда. - М.: URSS, 2010.

THE CONTENT OF NUMERICAL PREPARATION OF A MATHEMATICS TEACHER IN TERMS OF LEVEL EDUCATION

E.I. Deza

candidate of physical and mathematical sciences, professor of the Moscow Pedagogical State University

A.V. Zhmuleva

candidate of pedagogical sciences, professor of the Moscow Pedagogical State University

The article is devoted to analysis of the problems of the theory of numbers studying. Developed by the authors in accordance with the General Education Standard, set of materials for all levels of numerical training of mathematical department students of teacher training colleges, which helps to solve a number of problems existing in this area, is presented in the article. The stages of academic subject training. Authors of the article believe that teaching of theoretical and numerical courses on the basis of the developed programs and created on the basis of their training manuals provides effective individualized fundamental training of students in the framework of the numerical content line, continuous formation of their professional competence.

Key words: numerical preparation of mathematics teachers, level of education, stages of the subject training at university, theoretical and numerical courses, numeric content line.

Публикатор:

Постоянная ссылка для научных работ (для цитирования):

Комментарии: