А. Ж. Жафяров

член-корреспондент РАО, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой геометрии и методики обучения математике Института физико-математического и информационно-экономического образования Новосибирского государственного педагогического университета

Тел.: 8 (383) 269-90-05; e-mail: kafgimom@yandex.ru

В статье даны определения компетенции и компетентности, установлена связь общечеловеческих компетенций и компетенций школьного курса математики.

Ключевые слова: компетенция, компетентность, компетентностная модель, школьная математика.

В последнее время в систему образования интенсивно внедряется компетентностный подход. Такая необходимость возникла с целью защиты граждан, особенно молодежи, от напора увеличивающейся интенсивности человеческой деятельности.

Единственный путь к спасению от гнета указанного интенсива - это обратиться к А. С. Пушкину. По его мнению, "наука сокращает нам опыт быстродействующей жизни". Иначе говоря, граждан, особенно молодежь, заранее надо учить работать в условиях большого интенсива, порождающего целую систему неопределенностей и неожиданностей.

Прежде всего коротко остановимся на том, чем вызвано внедрение компетентностного подхода (КП) в систему образования. Для этого сравним две парадигмы образования: ЗУН и КП.

Отметим положительные стороны ЗУН. Безусловно, с положительной стороны оцениваются всеми и знания, и умения, и навыки.

Неоспоримо отрицательным является то, что только "зуновец" (т. е. тот человек, ко-

торый остановился на когда-то полученных знаниях, умениях и навыках), обречен завтра стать бомжем.

Причиной этого процесса является то, что в XXI в. скорость удвоения научной информации существенно возросла: в информатике удвоение происходит примерно за 1,5 года, по нанотехнологиям, особенно в военной области или конкурентной экономике, - за 3 - 4 года. Просто знающий каноны на сегодняшний день не является квалифицированным специалистом и со временем становится безработным.

Теперь рассмотрим КП в системе образования. Здесь отметим только некоторые компоненты КП.

Выпускник этой системы образования должен:

1) в совершенстве владеть ЗУН на текущий момент;

2) быть нацеленным на инновации и творчество;

3) быть нравственно воспитанным, активным гражданином и признавать общечеловеческие ценности;

4) быть готовым принимать оптимальные решения в критических ситуациях на основе научно-аналитического подхода, учета опыта человечества и своего опыта.

В итоге при достижении компетентностей хотя бы по указанным компетенциям получается специалист, более адаптированный к реальной жизни. Иначе говоря, КП предназначен для приближения системы образования к потребностям нашей быстротекущей жизни.

КП требует: от гражданина - постоянного обновления своих знаний, саморазвития и самоусовершенствования; от системы управления - создания системы непрерывного образования.

Безусловно считая компетентностный подход в системе образования прогрессивным, следует отметить, что нет единого толкования таких важных понятий, как компетенция и компетентность. Не будем тратить времени на анализ этого многообразия, отметим только один уникальный случай, когда определение компетенции дается в виде категории, т. е. компетенция - это категория (без объяснений).

С таким определением очень трудно работать, поэтому ниже предлагается авторское определение компетенции.

Компетенция в данной области деятельности человечества - это название вида деятельности человечества. Ее сущностью является необходимость, иначе говоря, человечество должно быть готово решать относительно конкретные проблемы данной области. Из этого определения следует, что компетенция - это свойство всего человечества относиться ко всему человечеству.

Компетентностью индивидуума в данной области деятельности Человечества назовем уровень владения им соответствующей компетенцией. Из этого определения следует, что компетентность - это свойство конкретного человека, она относится только к личности.

Попытаемся установить связь между общечеловеческими компетенциями, компетенциями алгебры и типичными ошибками абитуриентов на ЕГЭ.

Первая общечеловеческая компетенция (ОЧК-1) состоит в необходимости соблюдения законов природы. Природа "живет" уже давно, по установившимся причинно-следственным законам. Вмешательство "локальных" специалистов может нарушить связь и многовековую устойчивость в природе. Немало случаев, когда природа наказывает человечество за безграмотность.

Проекцией этой первой компетенции на школьный курс алгебры является необходимость владения школьными стандартами. Надо четко знать определения понятий, формулировки теорем, уметь применять понятия и их свойства для решения учебных и практико-значимых задач. Это и составляет первую компетенцию алгебры (КА-1). Как говорят, нет ничего практичнее, чем хорошо разработанная теория. В науке сложилась научная теория, отражающая многие факты реальной жизни. Действительно, наука сокращает нам опыты быстро текущей жизни. Поэтому надо выучить азы школьного курса алгебры. Иначе говоря, надо "жить дружно" с законами природы.

В связи со сказанным представляет интерес вопрос о том, как обстоит дело со знанием стандартов. В последние годы результаты ЕГЭ говорят о низком уровне подготовленности выпускников по математике вообще и по алгебре в частности.

Учащиеся, сдающие ЕГЭ, теряют много баллов из-за элементарного незнания основных теорем алгебры.

Вторая общечеловеческая компетенция (ОЧК-2) - нацеленность на инновации и творчество, совершенствование знаний, самоусовершенствование.

В наш стремительный XXI в., когда скорость удвоения научной информации существенно возросла, человек должен постоянно усовершенствовать свои знания (непрерывное

образование), причем творчески относясь к этому делу.

В указанном отношении школьная алгебра является благодатной дисциплиной, решение ее задач способствует развитию вариативного и логического мышления.

Очень важным подспорьем для развития творчества обучающихся (учащихся, учителей и т. д.) являются метод проектов, конструирование новых задач, решение задач с параметрами, нестандартных задач и т. д.

Вторая компетенция алгебры (КА-2) является самой трудной и связана, как уже было отмечено выше, с развитием и саморазвитием творчества.

Методов развития творчества невозможно даже определить, здесь имеем дело с большой неопределенностью. Но многие способы известны, здесь отметим один из важных методов - метод конструирования задач, создания семейства задач, т. е. задач, имеющих "родство".

Развитию творчества, вариативного мышления и фундаментальности знаний способствует и решение задач с параметрами. Этот вид деятельности является очень слабым у большинства учащихся. В школьных учебниках нет системы подготовки учащихся к решению задач с параметрами ни по алгебре, ни по тригонометрии. Большинство учителей также не владеют этим материалом.

Несмотря на это в последние годы на ЕГЭ все больше и больше предлагают задачи с параметрами. Именно такие задачи дают большое количество баллов, естественно, при правильном их решении и обосновании.

Раньше на вступительных экзаменах многие вузы зачисляли абитуриентов в студенты на основе ЗУНов - знаний, умений и навыков. Это был не оптимальный принцип отбора, потому что не учитывался второй интегрированный параметр абитуриента - его интеллектуальный потенциал и фундаментальность знаний.

Указанные очень важные особенности абитуриента наилучшим образом раскрывают задачи с параметрами, т. е. они служат своего рода лакмусовой бумажкой в деле определения качества будущего студента - это первая причина увеличения числа задач с параметрами.

Вторая, не менее важная, причина связана с тем, что такие задачи:

а) лучше содействуют развитию личности ученика, его индивидуальных склонностей и способностей;

б) учат работать в условиях небольших и значительных неопределенностей, чем изобилует наша сегодняшняя жизнь;

в) развивают творческое и вариативное мышление и тем самым способствуют развитию интеллекта и повышению уровня фундаментальности знаний.

Третья общечеловеческая компетенция (ОЧК-3) состоит в необходимости активного участия граждан в построении цивилизованного общества, общества "без двойных стандартов", создания совершенного законодательства и т. д. Иначе говоря, должна быть достигнута однозначная трактовка законов общества, причинно-следственных заключений и т. д. В математике строгая логика изложения достигается за счет аксиоматического построения теории, соблюдения законов формальной логики, обеспечения равносильности утверждений, что и составляет третью компетенцию алгебры (КА-3). К сожалению, из программы общеобразовательной школы исключено понятие равносильности математических объектов (уравнений, неравенств, систем, совокупностей).

Третья типичная ошибка абитуриентов в этом и состоит. Решения задач ЕГЭ уровня С должны быть обоснованы. К сожалению таких работ очень мало, нет причинно-детерминированного изложения. Поэтому многие получают низкие баллы. Сохранение равносильности исключительно важно при решении уравнений, неравенств и т. д. Многие преобразования нарушают равносильность: можно потерять решения, можно и приобрести посторонние решения. В обоих случаях за счет дополнительных исследований приходится восстанавливать равносильность. К этому и не готовы многие выпускники.

Во многих случаях причиной возникновения третьей типичной ошибки является то, что понятие равносильности исключено из программы общеобразовательной школы; исключение, возможно, составляют только спецклассы.

Четвертая общечеловеческая концепция (ОЧК-4) состоит в необходимости принимать оптимальные решения в экстремальных ситуациях на основе аналитического подхода, учета опыта человечества и своего опыта.

Четвертая компетенция алгебры (КА-4), как и всей математики, состоит в необходимости решать теоретические и прикладные задачи на экстремум. Функциональный подход, содержащий такие понятия, как производная, интеграл и т. д., закладывает научные основы

принятия оптимальных решений в экстремальных случаях.

Другие компетенции алгебры порождены определением предмета математики. По Ф. Энгельсу, предметом изучения математики являются пространственные формы и количественные соотношения объектов реального мира.

Поэтому за пятую компетенцию алгебры (КА-5) возьмем необходимость решать задачи, связанные с понятием "периодичность функций".

Периодические функции интересны тем, что они позволяют решать задачи на ограниченном множестве, причем выбирая это множество так, чтобы облегчить решение предложенной проблемы. Затем за счет периодичности распространяем полученные результаты на всю область определения данной функции.

Шестая компетенция алгебры (КА-6) посвящена умению решать задачи на целочисленность переменного (переменных) или параметра (параметров).

В последние годы на ЕГЭ регулярно предлагаются задачи на целочисленность. Абсолютное большинство задач уровня С6 посвящены указанной тематике. Эти задачи очень интересные, развивающие, требующие, с одной стороны, как сообразительности, так и фундаментальных знаний, с другой - учащиеся делимость чисел изучают в 5 - 6 классах, естественно на детском уровне, а задачи С6 - олимпиадные или полуолимпиадные. Поэтому абитуриенты на ЕГЭ попадают в стрессовую ситуацию.

Какой выход из создавшейся ситуации?

Их два: первый - помощь учителя, ему надо "ухитриться" обеспечить цикличность изучения теории о делимости чисел и ее применения для решения задач типа С6; второй - надеяться на себя, приобрести пособия, посвященные этой тематике, или через Интернет скачать соответствующую информацию.

Можно сочетать оба способа, второй предпочтительнее, так как проявляется самостоятельность, сознательность; добытая своим трудом информация будет способствовать формированию исследовательского навыка и самосовершенствования.

Седьмая компетенция алгебры (КА-7) посвящена умению решать задачи на кванторы.

Так называются задачи, фабула которых содержит выражения типа "для любого...", "существует, причем единственное...", "найдите ровно четыре..." (найдите 4 и только 4...). К сожалению, в общеобразовательной школе формированию компетентности по этой компетенции, как и по другим, уделяется очень мало внимания, а эти задачи требуют сообразительности, инициативности и фундаментальности знаний.

Восьмая компетенция алгебры (КА-8) посвящена умению применять принцип необходимости и достаточности для решения сложных задач, в частности, задач ЕГЭ уровня С3, С5, С6. Иначе говоря, любой компетентный в области алгебры индивидуум должен уметь применять принцип необходимости и достаточности (далее ПНД) для решения задач. В этом суть КА-8.

Этот метод позволяет решать сложные задачи за счет сущности ПНД. Алгоритм применения ПНД состоит из двух шагов: 1-й шаг - используя какие-нибудь данные задачи, находим необходимые условия на переменную или параметр; 2-й шаг - проверка на достаточность.

Ценность метода состоит в том, что за счет первого шага сужаем область поиска решения задачи. Этот метод является чуть ли не единственным способом решения многих сложных задач. К сожалению, в общеобразовательной школе мало внимания уделяется такому важному способу решения задач.

Этот метод развивает сообразительность, так как не очевидно, что из условия задачи следует выделить, чтобы найти необходимые условия, т. е. реализовать 1-й шаг алгоритма. Второй шаг, т. е. отсеивание или поиск искомых значений (переменной или параметра), требует фундаментальных знаний. Все вместе взятое способствует повышению компетентности по указанной компетенции и развитию личности.

Девятая компетенция алгебры (КА-9) посвящена применению графического метода для решения качественных задач, т. е. таких задач, в которых требуется найти число корней уравнений и определить их расположение.

В школе графическим методом решения задач называют приближенное нахождение корней по графику соответствующей функции. Здесь ставится другая задача. На ЕГЭ в задачах уровня С5 компетенция КА-9 участвует как отдельный фрагмент решения задачи.

Десятая компетенция алгебры (КА-10) посвящена понятию области значений функции и его применения для решения содержательных задач, в частности, задач ЕГЭ уровней С3 и С5.

Многие задачи невозможно решить без нахождения Е(f) - области значений некоторой функции y = f(x).

Одиннадцатая компетенция алгебры (КА-11) посвящена решению функциональных уравнений.

Что это такое и зачем нужно рассматривать указанную тему? Традиционно в школе решаются задачи, связанные с элементарными функциями, т. е. такими функциями, про которые известны их определения и свойства. В функциональных уравнениях функции не известны, известны только отдельные ее свойства, и требуется найти другие свойства. Иначе говоря, при решении функциональных уравнений приходится "работать" в условиях неопределенности, что сравнимо с принятием рискованных решений в экстремальных условиях. В этом и состоит ценность КА-11.

Поэтому приобретение навыков решения функциональных уравнений способствует формированию такой общечеловеческой компетенции (ОЧК-4), как принятие оптимальных решений в экстремальных случаях на основе научно-аналитического подхода, учета опыта человечества и своего.

COMPETENCE APPROACH TO STUDYING OF A SCHOOL COURSE OF ALGEBRA

A.Z. Zhafyarov

corresponding member of the Russian Academy of Sciences, doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the Geometry and Math Training Technique Department of the Physical-Mathematical and Information-Economic Education Institute of the Novosibirsk State Pedagogical University

The article deals with competence and competence definitions; connection of universal competences with competences of school course of mathematics is established in the article.

Keywords: competence, competence model, school mathematics.

Публикатор:

Постоянная ссылка для научных работ (для цитирования):

Комментарии: