Г. А. Репина, кандидат педагогических наук, доцент Смоленского государственного университета, член-корреспондент Международной академии наук педагогического образования

E-mail: galinarepina@mail.ru

Математическое моделирование с детьми 6 - 7 лет - эвристически ориентированный процесс создания масштабных моделей посредством геометрически фигур и схем. В трактовке автора процесс детерминирован сочетаниями технологического, диагностического, валеологического, информационного модулей. Его педагогические основы требуют специального изучения.

Ключевые слова: математическое моделирование; масштабные модели; технологический, диагностический, валеологический, информационный модули; логико-математическое представление.

Понятие "модель" возникло в процессе опытного изучения мира (от лат. "modus", "modulus" - мера, образ, способ). С формально-логической точки зрения модели являются предметом теории моделирования - взаимосвязанной совокупности положений, определений, методов и средств создания моделей. Теория моделирования является составляющей общей теории систем - системологии: система представима конечным множеством моделей, каждая из которых отражает определенную грань ее сущности.

Для нас важно, что моделирование - это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и фиксация и изучение свойств этой модели. Замещение производится с целью упрощения, ускорения изучения свойств оригинала. Оригинал и модель сходны по одним параметрам и различны по другим. Замещение одного объекта другим правомерно, если интересующие исследователя характеристики оригинала и модели определяются однотипными подмножествами параметров и связаны одинаковыми зависимостями с этими параметрами (А. А. Самарский, А. П. Михайлов, Ч. Лейв, Дж. Марч, В. И. Юдович и др.).

Вопросы моделирования рассмотрены в работах логико-философского плана с позиций использования моделей для изучения различных свойств оригинала, его преобразования или замещения оригинала моделями в процессе какой-либо деятельности (И. Б. Новиков, Н. А. Уемов, В. А. Штоф и др.). С психолого-дидактической точки зрения под моделью понимают систему объектов или знаков, воспроизводящую ряд существенных свойств

системы-оригинала на основе поэтапно организованной дедукции или индукции, ведущей, возможно, к получению новой информации (П. Я. Гальперин, Л. В. Занков, Н. Ф. Талызына и др.). Подчеркивается, что наличие отношения гомоморфизма позволяет использовать модель в качестве заместителя или представителя изучаемой учебной или предметной области (С. И. Архангельский, В. В. Давыдов, Л. М. Фридман и др.).

Математической моделью, с формальной точки зрения, можно назвать любую совокупность элементов и связывающих их операций (Л. Д. Кудрявцев, И. Б. Новик, Г. И. Рузавин, В. А. Штоф и др.). Естественно, что интерес представляют математические модели, являющиеся изоморфным отображением реальных или реализуемых объектов, процессов и явлений. Математическое моделирование - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Это мощный метод познания мира, прогнозирования, управления (Б. А. Глинский, Б. В. Гнеденко, Н. Ф. Овчинников и др.).

Психолого-педагогические особенности детей 6 - 7 лет выявляют, по нашему мнению, тот факт, что модели, относящиеся к предметной области математического моделирования с детьми, классификационно относимы к роду физических масштабных. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия. Масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений, наиболее рельефно визуализирующихся посредством ПЭВМ. Как известно, для составления математических моделей можно использовать любые математические средства - алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теории множеств, алгоритмов и т. д. В предметной области математического моделирования речь идет, прежде всего, о предматематическом словаре, задаваемом теорией множеств, и схемах моделей, детализированных простейшими математическими абстракциями.

В рамках широко известных классификаций В. А. Штофа и Л. М. Фридмана речь идет о смешанных статических знаково-образных материальных моделях; согласно трактовкам Л. А. Венгера и Б. А. Глинского - о сочетании структурно-функциональных и конических моделей. Наиболее приемлема классификация по характеру моделей, в терминах которой речь идет о предметном моделировании (модель воспроизводит геометрические характеристики объекта), и знаковом моделировании (моделями служат знаковые образования - схемы, чертежи, графы, буквы, цифры).

Визуализация логико-математических свойств и зависимостей в школьном и дошкольном образовании опирается на разнообразные модели предметных областей. Под математическим моделированием в данном случае понимают обобщенное интеллектуальное умение детей заменять математические объекты и отношения моделями в виде изображений отрезками, лучами, схемами, знаками (А. В. Белошистая, И. Г. Обойщикова, Л. Г. Петерсон, А. А. Столяр, Т. В. Тарунтаева, Е. Е. Шулешко и др.).

Итак, значимый в русле нашей проблематики минимальный набор семантических ключей понятия "математическое моделирование" таков: абстракция, аналогия, гипотеза, гомоморфизм, традукция, замещение на основе однотипности, продуктивное воспроизведение, объекты и знаки, схематизация. Под математическим моделированием с детьми 6 - 7 лет мы понимаем организацию педагогом эвристически ориентированного процесса создания ребенком моделей посредством простейших плоскостных и пространственных математических абстракций. Модели задаются словесным описанием, черно-белой или цветной схемой; схемы могут быть расчлененными, частично расчлененными или нерасчлененными.

Поиск, разработка и апробация материалов, оптимизирующих введение ребенка в мир логико-математических зависимостей посредством конструкторско-моделирующей деятельности, отличает педагогические взгляды ряда самобытных педагогов прошлого и современности. Речь идет, прежде всего, о математических таблицах И. Г. Песталоцци, дарах Ф. Фребеля, "золотых материалах" М. Монтессори, игровых материалах, рассмотренных ЗА. Михайловой, развивающих играх, разработанных и адаптированных Б. П. Никитиным, кубиках и таблицах НА. Зайцева.

Теоретико-множественный анализ показывает, что определенная часть из указанных материалов представляет собой плоскостные и пространственные математические абстракции - сенсорные эталоны формы или их композиции, - характеристические свойства которых связаны с разбиениями на части прямоугольника или прямоугольного параллелепипеда, проведенные по определенным алгоритмам. Вовлечение ребенка в открытие мира занимательной математики, скрываемого в рассматриваемых материалах, происходит посредством авторских дидактических игр, упражнений, попевок. Эта педагогическая атрибутика визуализирует на итоговых моделях, получаемых ребенком в результате анализа исходных схем, отношения экви-

валентности, порядка, взаимно однозначные соответствия между единичными элементами материалов между собой или между элементами материалов и внешним миром знакомых детям предметов. Таким образом, по нашему мнению, речь идет о предметной области математического моделирования с детьми.

Введение в активный научный оборот предметной области математического моделирования с детьми в последние годы актуализировано повышением доступности для семьи и детского сада возможностей использовать электронные варианты материалов для математического моделирования с дошкольниками и младшими школьниками.

Как известно, в возрасте 6 - 7 лет ребенок стремится не только подражать взрослым в их деятельности, но по мере сил участвовать в ней, правильно понимая конечные цели этой деятельности. Он учится давать оценку полученному результату, сравнивая его с эталоном, представленным в форме наглядного изображения или реального образца (Л. А. Венгер, О. М. Дьяченко, В. В. Зеньковский, Н. Н. Подъяков и др.). С этих позиций процесс математического моделирования с детьми учитывает логику развития познавательных способностей ребенка: от овладения навыками непосредственного замещения частей схем моделей реальными предметами к освоению действий по использованию готовых моделей и усвоению действий по самостоятельному построению моделей по схемам и конструированию новых моделей и их схем в старшем возрасте.

Предметная область математического моделирования с детьми представляется актуальной для обогащения действующих методик умственного воспитания, математического развития ребенка в свете требований современных программ для ДОУ и начальной школы. Она связывается нами с разработкой и апробацией педагогических основ математического моделирования с дошкольниками на плоскостных и пространственных дидактических материалах, развивающих классическое логико-схематическое мышление, с адаптированием к специфике детского возраста педагогических атрибутов теории решения изобретательских задач, общей теории сильного мышления, теории эвристического обучения, развивающих компьютерных сред, формирующих нетривиальный логический опыт ребенка.

Педагогические основы математического моделирования с детьми 6 - 7 лет раскрываются нами в следующей логике: историко-педагогическая ретроспектива выделения предметной области, тезаурус и педагогическая аксиоматика (закономерности и принципы) процесса, дидактическая интерпретация теоретико-множественного смысла материалов (средства, формы и методы); критерии и стратегии проектирования процесса математического моделирования с детьми посредством сочетания педагогических модулей, преемственность в содержании процесса между детским садом, семьей и школой, специфика его реализации в подготовительных к школе группах детского сада и первых классах школ разных типов, система освоения технологий математического моделирования с детьми будущими педагогами.

Технологии математического моделирования с дошкольниками можно разделить на виды в соответствии с авторскими подходами исследователей заявленной проблематики. Согласно подходу ЗА. Михайловой, технологии можно классифицировать по логике действий: "математические развлечения; математические (логические) игры, задачи, упражнения; дидактические игры и упражнения" [1, с. 5]. Технологии, описанные Б. П. Никитиным, можно классифицировать по уровню продуктивности умственного развития, основанные на подражании; основанные на эвристическом познании закономерностей моделей [2].

Мы классифицируем технологии математического моделирования с дошкольниками следующим образом:

- по теоретико-множественному смыслу: технологии нахождения целого заданной инвариантной формы как объединения различных серий классов его разбиения; технологии нахождения целого дискретно меняющейся формы как объединения константных классов разбиения заданной исходной формы [3, с. 8 - 9];

- по пространственной ориентации: технологии плоскостного моделирования на базе разрезания прямоугольника; технологии пространственного моделирования на базе разрезания прямоугольного параллелепипеда; технологии пространственного моделирования на базе материалов, допускающих непрерывные деформации [4, с. 5].

В контексте нашей тематики моделирование, с одной стороны, является ступенью для развития конструкторских навыков детей, с другой - основой для творческого процесса модификации исходной конструкции на более высоком логико-схематическом уровне.

В рамках изучения предметной области "математическое моделирование с детьми" нами разработаны и апробированы циклы занятий по математическому моделированию на материалах "Тантрам", "Пифагор", "Пентамино", лист Мебиуса, оригами, флексагонов; развивающая компьютерная среда "Пентамино" и краткое руководство пользователя к ней; задания для си-

стемной и экспресс-диагностики, общие и особенные приемы ММд, обобщенный алгоритм моделирования на указанных материалах; примеры многоуровневых логико-математических игр с флексагонами; валеологические приемы переключения детей в ходе занятий по математическому моделированию, формирующие логико-математическую доминанту дидактического материала, и другой инструментарий.

Проведены локальные исследования по апробации и уточнению педагогического инструментария математического моделирования с детьми: серии занятий по математическому моделированию на материалах "Танграм" и "Пифагор" на базе воскресной школы для детей 4 - 7 лет при Смоленском педагогическом колледже (1996 - 1998 гг.); на базе ДОУ "Ежик" г. Смоленска (2004 г.), "Катюша" г Смоленска (2005 - 2007 гг.); серия занятий по математическому моделированию на материале флексагонов на базе детского Центра Творчества г Смоленска (2002 г.); серии занятий по математическому моделированию на материале оригами на базе на базе ДОУ "Садко" г. Смоленска (1998 - 1999 гг.); на базе ДОУ "Загадка" г. Смоленска (2001 - 2002 гг.).

Проведенные исследования позволили выделить следующие педагогические модули математического моделирования с детьми 6 - 7 лет: технологический, диагностический, валеологический и информационный.

Технологический модуль включает разработанные или уточненные нами плоскостные, пространственные и топологические технологии.

Диагностический модуль охватывает обоснованные нами констатирующую и контрольную диагностические методики на материалах "Рамки и вкладыши М. Монтессори", "Сложи квадрат", электронное "Пентамино"; задачи для экспресс-диагностики уровня сформированности навыков математического моделирования детей; контекстную экспресс-диагностику на материалах-головоломках: "Сложи узор", "Уникуб", "Кубики для всех".

Валеологический модуль задается психотерапевтическим и эмоциогенным потенциалом разработанных нами электронной ведомости учета, тематических физминуток (на основе контекстного рифмования), включенных в каждое занятие по математическому моделированию приемов самомассажа рук, упражнений с каштанами.

Информационный модуль связан с созданием и использованием РР-презентаций и электронных баз данных ("Плоскостное моделирование: материалы "Танграм", "Пифагор", "Пентамино""; "Пространственное моделирование: материалы "Кирпичики", "Сложи узор""; "Оригами: базовые формы и модули";

"Топология: флексагоны, лист Мебиуса, шну-рочные графы, развертки").

Организационные основы процесса математического моделирования с детьми позиционируются нами в рамках "петли качества" ISO 9001. Системообразующим элементом в данном случае выступает предложенная нами электронная ведомость учета индивидуальной траектории развития логико-математических представлений детей 6 - 7 лет в контексте предметной области математического моделирования. Интерпретация результатов и выбор стратегии индивидуального сопровождения ребенка дается на основе отслеживания динамики его репрезентационных предпочтений. Критерии и анкеты разрабатываются на основе анализа преемственных связей программ для ДОУ и 1-го класса школы. Внешний мониторинговый инструментарий задается анкетами для педагогов, руководителей, родителей как непосредственных "заказчиков" образовательной продукции; тестовыми методиками Б. П. Никитина, В. В. Селиванова, Г. А. Урунтаевой.

В настоящее время ведется исследование, комплексно охватывающее названные выше модули системы математического моделирования с детьми. В эксперименте участвуют детские учреждения и школы разных видов г Смоленска и Смоленской обл., г. Магадана. Набор материалов для математического моделирования с детьми определен методом групповых экспертных оценок (доверительная вероятность 0,85; отклонение оценки 0,5; процедура согласования мнений экспертов: метод корректного большинства, правило Борда, правило Парето).

Предполагается, что организация процесса математического моделирования с детьми 6 - 7 лет в поле выделенных нами педагогических основ будет способствовать совершенствованию логико-математических представлений ребенка за счет:

- активного усвоения математической терминологии, представлений о соотношении частей и целого, теоретико-множественном смысле материалов для моделирования, операциях классификации, сериации, отношениях эквивалентности, порядка, взаимнооднозначных соответствиях (анализ моделей и разных видов их схем);

- развития мелкой моторики рук (предметное моделирование, конструирование);

- овладения простейшими навыками пользователя ПЭВМ;

- валеологической поддержки умственного воспитания ребенка;

- отслеживания и коррекции индивидуальной образовательной траектории.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлова З. А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. - М.: Просвещение, 1990. -72 с.

2. Никитин Б. П. Ступеньки творчества, или развивающие игры. - М.: Педагогика, 1998. -156 с.

3. Репина Г. А. Технологии математического моделирования с дошкольниками. - Смоленск: СГПУ, 1999. -29 с.

4. Репина Г. А. Математическое развитие дошкольников: современные направления. -М.: Сфера, 2008. - 128 с.

5. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

PEDAGOGICAL BASES OF MATHEMATICAL MODELING IN WORK WITH CHILDREN OF 6 - 7 YEARS

G. A. Repina, candidate of pedagogical sciences, senior lecturer of the Smolensk State University, corresponding member of the International Teacher's Training Academy of Science

Mathematical modeling with children of' 6 - 7 years is a heuristically focused process of creation of scale models by means of geometrically figures and schemes. In opinion of the author process is determined by combinations of technological, diagnostic, valeological and information modules. Its pedagogical bases demand special studying.

Keywords: mathematical modeling; scale models; technological, diagnostic, valeological, information modules; logical-mathematical representation.

Publisher:

Permanent link for scientific papers (for citations):

Comments: